Robuste LMS Gerade

Da die LS-Regression   die Eigenschaft hat, von Ausreißern   und Meßwerten die stark von der Gerade abweichen sehr beeinflußt zu werden(Rousseeuw, 1984) wurde nach einer anderen Methode gesucht, die Ausreißer weniger oder gar nicht in die Berechnung miteinbezieht. Eine geeignete Methode scheint eine robuste Regression   zu sein, die als Qualitätskriterium der Geraden nicht die least squares heranzieht, sondern die Mediane   der Residuen.

Der Einsatz von Medianen in der Regressions-Statistik erfolgte nach heftiger Kritik der LS-Methode und ist im allgemeinen nicht an bestimmte Verteilungen   gebunden, und zählt so zu den sogenannten robusten Verfahren, und wird für die Fälle empfohlen, in denen entweder keine definierte Verteilung vorliegt, diese nicht ermittelt werden kann, oder die Daten Ausreißer enthalten, die nicht einfach ermittelt und entfernt werden können. Derartige Methoden wurde von z.B. von Rousseeuw, 1984 und Siegel, 1982 beschrieben. Diese werden - im Gegensatz zur LS-Regression - von Ausreißern und Rauschen wesentlich weniger beeinflußt.

Eine Klassifizierung von Regressionsmethoden wurde u.a. durch die Einführung des Begriffes breakdown point (Hodges, 1967) möglich. Im wesentlichen bedeutet der Begriff die Anzahl der Punkte der Datenmenge die Ausreißer sein dürfen. Im Falle der LMS-Regression (Hampel, 1975) liegt der breakdown point bei 50%. Die klassische least squares regression hat im ungünstigsten Fall hingegen einen breakdown point von eins (Hampel, 1971). Das Prinzip der least median of squared residuals ist folgendes:

1. Berechnen der Residuen = Abweichung des Modells von den Meßdaten in jedem Punkt
2. Quadrieren der Residuen (daraus resultieren positive quadratische Abstände)
3. Sortieren der Residuen nach ihrer Größe
4. Bestimmen des Medians = Mittlerer Wert der sortierten Reihe
5. dieser Wert wird als Qualitätskriterium herangezogen und soll ein Minimum erreichen

Durch den Einsatz von Medianen im Gegensatz zu Fehlerquadraten ist diese Methode extrem Fehlertolerant.

Allerdings ist diese statistische Methode nicht mehr in einer mathematich geschloßen Rechnung zu lösen, sondern nur mehr mittels Näherungsverfahren. In Anbetracht der Tatsache, daß auch verschiedene Regenmodellierungen vorgenommen werden sollten, wurde der Aufwand ein Programm zu schreiben, das mittels genetischer Algorithmen   eine universell einsetzbare Optimierungmethode zur Verfügung stellt, in Kauf genommen (Vankeerberghen et.al., 1995). Für eine detailierte Beschreibung der genetischen Algorithmen muß auf den Anhang verwiesen werden.

Tabelle: robuster (LMS) Trend 10-Jahre: Jän.84-Jän 93 in Prozent.

Stationen	NH4-N	NO3-N	SO4-S
Haunsberg		-15%	-29%
St.Koloman	-49%	0%	-54%
Werfenweng	+48%	-28%	-55%
Kufstein	-21%	-28%	-24%
Reutte	+26%	-19%	-32%

In Abb. bis auf Seite sind die Ergebnisse der LMS-Regression sind für Ammonium, Nitrat und Sulfat an der Station Kufstein den Ergebnissen der LS-Regression gegenübergestellt. Vergleicht man nun die Ergebnisse in Tabelle mit den Ergebnissen der LS-Regression in Tab., so zeigt sich :

• Sulfat ergibt einen vergleichbaren Trend, allerdings mit deutlicherer Reduktion v.a. an den Stationen St.Koloman, Werfenweng und Reutte. Einzig die Meßwerte an der Station Kufstein zeigen eine geringere Reduktion anhand dieser Analyse.
• Bei den Werten des Nitrat Ions zeigen sich in Summe ebenfalls ähnliche Ergebnisse wie bei den Sulfat Daten: An allen Stationen mit Ausnahme der Station St.Koloman sind die Trends nach der LMS-Analyse stärker Ausgeprägt. 
• Bei Ammonium sieht man ein durchwegs uneinheitlicheres Bild. Ein klares Ergebnis vergleichbar den Analysen von Sulfat und Nitrat läßt sich nicht angeben. Unter Berücksichtigung der bereits erwähnten Tatsache, daß die Ammonium Werte stark von lokalen Einflüßen  abhängig sind, ist dieses Ergebnis verständlich. Der Unterschied in den Ergebnissen der beiden Methoden läßt darauf schließen, daß mehr Einzelwerte vom Durchschnitt abweichen, und damit die Methoden - wie oben ausführlich beschrieben - unterschiedlich stark beeinflußt werden. Auch hier können unterschiedliche lokale Einflüße in einzelnen Monaten verantwortlich sein.